教师招聘模拟卷（一） 数学学科专业知识（共计：80 分） 一、单项选择题（本大题共 9 个题，每题 3 分，共 27 分） 1．设集合 A   x ln x   1 ， B   2  , 1  ,0,1,2,  3 ，则 A  B  （ ）． A．  1 B．1,  2 C．2  , 1 0 , ,  1 D． a  i 2．若复数 z  （ a  R ， i 是虚数单位）是纯虚数，则 a  2 i 等于（ ）． 1 2 i A．2 B． 2 2 C．4 D．8 2 x 1 3．设 y  ，则 x  1为 y 的（ ）． x 1 A．连续点 B．跳跃间断点 C．无穷间断点 D．可去间断点 4．如图，正方体 ABCD  A B C D AC 1 1 1 1 的棱长为 1，动点 E 在线段 1 1 上，F、M 分别是 AD、CD 的 中点，则下列结论中错误的是（ ） ． A． FM / / A C 1 1 B． BM  平面 CC F 1 C．三棱锥 B  CEF 的体积为定值 D．存在点 E，使得平面 BEF//平面 CC D D 1 1  x  2 y  5  0  5．设 x ， y 满足约束条件  x  2 y  3  0 ，则 z  2 x  y 的最小值是（ ）．  x 5   0 A．4 B．5 C．8 D．9 3    6．已知函数 f  x  sin x   0 的图象关于直线 x  对称，且 f  x 在 0, 上为单调函 4  4    数，下述四个结论： ①满足条件的  取值有 2 个  3  ②  ,0 为函数 f  x 的一个对称中心 2       ③ f  x 在  ,0  上单调递增 8    ④ f  x 在 0,  上有一个极大值点和一个极小值点 其中所有正确结论的编号是（ ）． A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③ 1   cos x  x  0 7．设 f  x 2   x ，如果 f  x 在 x  0 处连续，则 a （ ） ．  a x  0 1 1 A． B． 6 C．1 D． 2 3 2 2 x y 8．已知双曲线 C ：   1 a  0, b  0 的右焦点为 F ， P 为双曲线 C 右支上一点，若  OFP 2 2   a b 为等边三角形，则双曲线 C 的离心率为（ ）． A 13 ． 2 B． C． 5 D． 3 1 2 9．定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x 1)  f ( x 1) ，且当 x [1,0]时， 2 f ( x)  x ，函数 g( x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x  0 时， g( x)  lg x ，则函数 h( x)  f ( x)  g( x) 的零点的的个数是（ ）． A．9 B．10 C．11 D．12 二、填空题（本大题共 5 个题，每题 2 分，共 10 分）．            10．已知平面向量 a ， b ， c 满足| a |1， | b |= 1 ，| c  ( a  b) | |  a  b |，则| c | 的最大值为 ___________． n 2  1  11．若   2 3 x  dx  n ，则 3 1 x  2    的展开式中 4 x 的系数为__________． 0  x  12．如图，点 P 在正方形 ABCD 所在的平面外，PD  底面ABCD，PD  AD ，则 PA 与 BD 所 成角的度数为____________． n(1 b)  3 b  2 13．已知 a  b  n  a   a n ( 1, 2) ，若对不小于 4 的自然数 n ，恒有不等式 成立， n 1 b  n 1 n 则实数 b 的取值范围是__________． 14．设 z  z  x, y，由方程 z 2 z  e  xy 所确定，则 dz ________． 三、解答题（本大题共 5 小题，其中第 15 题 7 分，第 16、17 题 8 分，第 18、19 题 10 分，共 43 分） 15．已知等比数列 a S  S , S , S n  的前 n 项和 n ，满足 2 S 5 a 4 2 ，且 1 3 2 成等差数列． （1）求数列 an 的通项公式； （2）设数列{ b n 1  2 * a b  a b  a b  (1) a b  n  n n N b n n 10 n} 满足 1 1 2 2 3 3  ，记数列{ n}的前 n 项和 T T n ，求 n 的最大值． 16． A  BC 内角 , A B, C 的对边分别为 a, b, c ，已知 3 asin C  csin 2 A ． （1）求 A ； （2）若 a  7 ， b  2 3 ，求 A  BC 的面积． 17．某合资企业招聘大学生时加试英语听力，待测试的小组中有男、女生共 10 人（其中女生人数 8 多于男生人数） ，若从中随机选 2 人，其中恰为一男一女的概率为 ． 15 （1）求该小组中女生的人数； 3 2 （2）若该小组中每个女生通过测试的概率均为 ，每个男生通过测试的概率均为 ．现对该小组 4 3 中女生甲、女生乙和男生丙、丁 4 人进行测试．记这 4 人中通过测试的人数为随机变量 X，求 X 的分布 列和数学期望． 18．已知二次函数 2 f ( x)  ax  bx 3在 x 1处取得极值，且在 (0, 3  ) 点处的切线与直线 2 x  y  0 平行． （1）求 f ( x) 的解析式； （2）若函数 g( x)  xf ( x)  4 x ，且 g( x)  m  0 有三个不同的零点，求实数 m 的取值范围． 2 y 19．在平面直角坐标系中，已知抛物线 2 y  2 px  p  0 的焦点 F 到双曲线 2 x   1的渐近线 3 3 的距离为 ． 2 （1）求该抛物线的方程； （2）设抛物线准线 x 与轴交于点 M ，过 M 作斜率为 k 的直线 l 与抛物线交于 A ， B 两点，弦 AB 的中点为 P ， AB 的中垂线交 x 轴与 N ，求点 N 横坐标的取值范围． 教师招聘模拟卷（一） 数学学科专业知识（共计：80 分） 参考答案及解析 一、单项选择题（本大题共 9 个题，每题 3 分，共 27 分） 1．【答案】B．解析：求解对数不等式可得 A   x | 0  x   e ，结合题意和交集的定义可知： A  B  1,  2 ．故选：B． a  i  a  i1 2 i  a  2  2 a  1 i 2．【答案】B．解析：由题意可得： z    1 2 i 1 2 i1 2 i 5 ，由题意可得： 2 a 1  0 { a  a  i   i  a ，解得 2，则 2 2 2 2 2 ．本题选择  2  0 B 选项． 2 x 1 3．【答案】D．解析：lim  2 ，在 x 1处左右极限存在，但是没有定义，所以是可去间断 x 1  x 1 点，选 D． 4．【答案】D．解析： 对于 A，连接 AC，易知： FM / / AC, AC / / A C , FM / / AC 1 1 故 1 1 ，正确； 对于 B，易知： CDF  BCM , C  FD  B  MC, D  CF  B  MC  90 o V V ，  BM  CF, BM  CC CC F 1 ,故 BM  平面 1 ，正确； 对于 C，三棱锥 B  CEF 的体积等于三棱锥 E  BCF 的体积,此时 E 点到平面 BCF 的距离为 1，底 1 面积为 ，故体积为定值，正确； 2 对于 BF 与 CD 相交，即平面 BEF 与平面 CC D D 1 1 始终有公共点，故二者相交，错