模考大赛第 4 季——数学学科题本 一、单项选择题（本题共 50 小题，每小题 2 分，共 100 分） 3 4 1.图书馆的科技书和文艺书共 9000 本，科技书借出 ，文艺书借出 后，两种书剩下的本数一样多， 4 5 原来有科技书（ ）本。 A.3600 B.2800 C.3500 D.4000 2. 如图，有一个质地均匀的正四面体，其四个面分别画着圆、等边三角形、菱形、正五边形，投掷 该四面体一次，向下的一面图形，既是轴对称又是中心对称图形的概率是（ ）。 1 1 3 A. B. C. D.1 2 4 4 3.下列说法错误的是（ ）。 A.a 与 b 互素，那么 n a 与 n b 也互素 B.a 与 b 互素，且 a 整除 bc，那么 a 整除 c C.21498 能被 19 整除 D.252 与 198 的最大公约数是 18 4.如图，边长为 2 的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率 2 为 ，则阴影区域的面积约为（ ）。 3 2 4 8 A. B. C. D.不确定 3 3 3 5.一项工程，甲乙合作需要 20 天完成，乙丙合作需要 15 天完成，由乙单独做需要 30 天完成，那么如 果甲乙丙合作，完成这项工程需要（ ）天。 A.8 B.10 C.12 D.24 1 6.某班学生参加献爱心活动，该班 50 名学生的捐款统计情况如下表： 金额（元） 5 10 20 50 100 人数（人） 4 16 15 9 6 则它们捐款金额的中位数和平均数分别是（ ）。 A.10，20.6 B.20，20.6 C.10，30.6 D.20，30.6 7.如图，AB 是圆 O 的直径，弦 CD 交 AB 与点 P, AP  2, BP  6, A  PC  30o ，则 CD 的长为（ ）。 A. 15 B. 2 5 C.8 D. 2 15 1 8.如图，在 Rt△ ABC 中，  ACB  90 ，分别以点 B 和点 C 为圆心，大于 BC 的长为半径作弧，两 2 弧相交于 D E 、 两点，作直线 DE 交 AB 于点 F ，交 BC 与点 G ，连接 CF ，若 AC  3 C ， G  2 ，则 CF 的 长为（ ）。 5 7 A. B.3 C.2 D. 2 2 9.如图所示，在 Rt A △ BC 中， C  90 ， P 为斜边 AB（ A B 、 除外）上一动点，过点 P 分别向 AC B 、 C 做垂线 PE P 、 F ，垂足分别为 E、 F ，若 AC  8 B ， C  6 ，那么 EF 长的最小值为（ ）。 A.5 B.4.8 C.4 D.3 10.若 P 是长度为 6 的线段 AB 上任意一点，则点 P 到线段 AB 两端点的距离均不小于 1 的概率为 （ ）。 5 2 1 1 A. B. C. D. 6 3 2 3 2 11.等差数列  a a  1 a  a  k 0 n 的前 9 项和等于前 4 项和，若 1 ， 4 ，则 k 等于（ ）。 A.8 B.9 C.10 D.11 12.向量 a  (3,3) ， b  (1, 1) ，若 ( a   b)  ( a   b) ，则   （ ）。 A.3 B.±3 C.－2 D.±2 ln 2  x 13.函数 f  x     x 的定义域为（ ）。 x A.[0  ， ) B. (0  ， ) C. (0 2] ， D. (0 2) ， 14.已知全集 U  R ， A   2 x y  ln 1 (  x  ) ，  2 4 x B y y    ，则 A I C B  （ ）。 U A.  1 － 0 ， B. 0  1 ， C. 0  1 ， D.  1 － 0 ， 15.已知直线 x  2 ay 1  0 与直线 3 a   1 x  y  0 垂直， a 的值为（ ）。 1 1 A.0 B.1 C. D. 6 3 16.已知 f  x 是定义在 R 上的奇函数，且 f  x 在0  ，  内单调递减，则（ ）。 A. f  log 3  f log 2  f 0 B. f log 2  f 0  f log 3 3     2  2   3    C. f 0  f log 2  f log 3 D. f log 2  f log 3  f 0 3   2    3   2  17.已知四棱柱（即底面是正方形的直棱柱）的底面边长为 3 cm ，侧面的对角线长是 3 5 cm ，则这个 正四棱柱的表面积为（ ）。 A. 2 90 cm B. 2 36 5 cm C. 2 72 cm D. 2 54 cm 18.已知数列  a 是公差为 d 的等差数列，其前 n 项和为 S ，数列 b 是公比为 q 的等比数列，其前 n n  n  n 项和为 Tn 。下列说法正确的是（ ）。 A. q  1 时， T T n 一定存在最小值 B. q  n 存在最小值， 1 C. d  0 时， S S d  n 一定存在最大值 D. n 存在最大值时， 0 19.定点 P 3 0 ， ，动点 Q 在圆 2 2 x  y  16 上，线段 PQ 的垂直平分线交 OQ 于点 M （ O 为坐标原点）， 则动点 M 轨迹为（ ）。 A.圆 B.直线 C.双曲线 D.椭圆 20.若非零向量 a 和向量 b 满足 a  2 b  4  ， a  2 b  a  0 ，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是（ ） 。 1 1 A.4 B.8 C. D. 4 8 21.已知   ， 是第一象限角，则 cos  cos  是 sin  sin  的（ ）。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3 sin x 22.函数 f  x  图象可能是（ ）。 ln  x  2 A. B. C. D. 23.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m ， n 作为点 P 的横、纵坐标，则点 P 在直线 x  y  6 下方 的概率为（ ）。 7 1 1 5 A. B. C. D. 18 3 6 18 24.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体 积为（ ）。 45 5π 135 5π A. B. C.180 5π D. 90 5π 2 2 25. 在 A △ BC 中 ， 内 角 A B ， C ， 所 对 的 边 分 别 为 a b ， c ， ， 若 a  1 a ，  b  c  3 ， 且 3 c sin A cos B  a sin B cos C  a ，则 A △ BC 的面积为（ ）。 2 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 A. B. C. 或 D. 或 4 4 3 4 4 4 4 2 26.把函数 y  cos3 x  sin3 x 的图象适当变动，就可得到 y  sin3 x 的图象，这种变动可以是 2 （ ）。   A.沿 x 轴向右平移 B.沿 x 轴向左平移 4 4   C.沿 x 轴向右平移 D.沿 x 轴向左平移 12 12 27.数列  a 的前 n 项和为 S ，满足 a  1 a ，  3 a ，    ，则 S  （ ）。  a a n 3 n 1 n 1 2 2   n  n n 2 n 4 n n 4 A. 4 n 2 n 