模考大赛第 7 季——数学学科题本 一、单项选择题（本题共 50 小题，每小题 2 分，共 100 分） 1.一个圆柱的侧面展开图是正方形，底面的直径与高的比是（ ）. A.2π∶1 B.1∶π C.1∶1 D.π∶1 2.在比例尺是 1∶10 的图纸上，甲、乙两个圆的直径比是 2∶3，那么甲、乙两个圆实际的直径比是（ ） . A.1∶10 B.4∶9 C.2∶3 D.无法确定 3.由六个小正方体搭成的几何图形，如图所示，则它的主视图是（ ）. A. B. C. D. 4.某同学 7 次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为 10，9，11，12，9，10，9，这组数的众数 为（ ）. A.9 B.10 C.11 D.12 5.下列计算正确的是（ ）. A. 3 4 12 x  x  x B. 9  3  C.若 2 x  x ，则 x  1 D.  x  0 2 1  1  x  a  0 6.关于 x 的不等式组  的解集中至少有 5 个整数解，则正数 a 的最小值为（ ）. 2 x  3 a  0 2 A.3 B.2 C.1 D. 3 7.下列命题：①“若 a  b，则 a  b”的否命题；②“若 a 1，则 2 ax  x  3  0 的解集为 R ”的逆否 命题；③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；④“若 2 x 为有理数，则 x 为无理数”的逆否命题，其中 真命题序号为（ ）. A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 8.下列运算正确的是（ ）. A. 2 a  a  a B. 6 3 2 a  a  a C. 0 (π  3.14)  0 D. 2 3  3  3 1 9.如图， A 、 B 、 P 是半径为 2 的圆上的三点，  APB  45 ，则弦 AB 的长为（ ）. A. 2 B.2 C. 2 2 D.4 10.一名法官在审理一起珍宝盗窃案，此案有四名罪犯：甲、乙、丙、丁。甲：罪犯在乙、丙、丁三人 之中；乙：我没有作案，是丙偷的；丙：甲、乙两人中有一人是小偷；丁：乙说的是事实。四人中有两人 说的是真话，两人说的是假话，只有一人是罪犯。那这四人谁是罪犯？（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 11.设集合   | 3 x A x   9 ， B   x | y  ln  x 1 ，则 A  B =（ ）. A. 1,2 B. 1,2 C. 1,2 D. 1,2 2  i 12.已知 i 为虚数单位， a  R ，若 为纯虚数，则 z  2 a   1  2 i 的模等于（ ）. a  i A. 2 B. 3 C. 6 D. 11 13.若等差数列  a 满足 a  a  a  0 ， a  a  0 ，当 n  （ ）时，  a 的前 n 项和最大。 n  n  7 8 9 7 10 A.7 B.8 C.9 D.10 13 14.在  ABC 中，三边长分别是 a ， a  2 ， a  4 ，最小角的余弦值为 ，则该三角形的面积为（ ） . 14 35 15 21 15 A. 3 B. C. 3 D. 3 4 4 4 4 15.若 A , B 是锐角三角形 ABC 的两个内角，则点 P cos B  sin A si ，n B  cos A  在（ ）. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 16.   10 x f x  lg x ，则 f '  1 =（ ）. 10 A.10 B.10ln10  lg e C.  ln10 D.11ln10 ln10 17.过直线 y  x 上任意一点 P 作圆  x  2   y  2 5 1  2 的两条切线 l l 1 、 2 ，切点分别为 A 、 B ，当直 线 l l   1 与 2 关于直线 y x 对称时， APB =（ ）.     A. B. C. D. 6 4 3 2 2 18.为了解某高三学生的视力情况，随机抽查了该校 100 名高三学生的视力情况，得到的频率分布直方 图如图，由于不慎将部分数据丢失，前 4 组频数为等比数列，后 6 组为等差数列，设最大频率为 a ，视力 在 4.6～5.0 之间的学生数为 b ，则 、 a b 的值分别为（ ）. A.0.27；78 B.27；78 C.0.27；83 D.2.7；7.3 19.下列函数中，是奇函数又在区间 0,2 上增函数的是（ e 为自然数对数的底）（ ）. 1 e  x A. y  sin x B. 2 y  x C. y  D. y  ln x e  x 20.一个体积为12 3 的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（ ）. A. 6 3 B.8 C. 8 3 D.12 21.“ 2 x  5 x  0 成立”是“ x 1  4 成立”的（ ）. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 22. 2 10 ( x  x 1) 的展开式中 3 x 项的系数为（ ）. A.-210 B.210 C.30 D.-30 23.过直线 x  y  5  0 上的点作圆 2 2 x  y  4 x  2 y  2  0 的切线，则切线长的最小值为（ ）. A. 3 2 B. 15 C.4 D. 4 3 24.四位同学各自在周六，周日两天中任选一天参加公益活动，则周六，周日都有同学参加公益活动的 概率为（ ）. 7 5 3 1 A. B. C. D. 8 8 8 8 25.直线 l ：4 x  3 y  6  0 ，直线 l ： x  1 ，抛物线 2 y  4 x 上有一个动点 P 到 l 和 l 的距离和为最小 1 2 1 2 值（ ）. 3 5 11 A. B.2 C. D.3 5 5 3  26.若函数 f  x  A sin  x   （其中 A  0 ，   ）的部分图象，如图所示，为了得到 g  x  sin 2 x 2 的图象，则只需将 f  x 的图象（ ）.   A.向右平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 6 3   C.向左平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度 6 3 27.已知 a ， b 的夹角为 60°，且 a  1 ， a  2 b  21 ，则 b  （ ）. 3 5 A. 2 B. C. D. 2 2 2 2 3 2  x 1， x  1  28.已知函数 f  x  1   log f  f 4  ， x x  1 ，则   =（ ）. 1  2 A.-15 B.-7 C.7 D.15 29.已知函数 f ( x)  ln x 1 ，则函数 f ( x) 的反函数为（ ）. A. x 1 y  e ( x  R) B. x 1 y  e ( x  R) C. x1 y  e ( x  1) D. x1 y  e ( x  1)  1 x 30.在同一坐标系中，函数 y    与 y  log  x （其中 a  0 且 a  1）的图象可能是（ ）. a   a    A. B. C. D.    31.函数 y  sin   2 x 的单调递减区间是（ ）. 3           A.  k  ， k  ， k   Z B. 2 k  2 ， k  ， k  Z 6 3     12 12           C. k  ，